先用程序估算一下

from __future__ import divisionimport randomN = 1000000sums = 0for i in range(N):    count = 0    s = 0    while 1:        s += random.random()        count += 1        if s > 1:            sums += count             breakprint sums / N

三次给出的结果分别是

2.716957 2.718334  2.71885

2.718不就是e的味道吗，下面证明一下

先取两个特例

特例1：x+y < 1——两个随机数之和小于1

结果是紫色部分，为1/2

特例2：x+y+z< 1——三个随机数之和小于1

结果为深底下面的，占整个体积的1/6(锥体积：1/3*底面积*好=1/3 * 1/2 * 1 *1)

这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：

   ∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6

推广：四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的“体积”，它的“底面”是一个体积为 1/6 的三维体，在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”

  ∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24

依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 – 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是

 (1 – 1/n!) – (1 – 1/(n-1)!) = (n-1)/n!

因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为

       ∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

 

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